【常见函数的z变换】在数字信号处理中，Z变换是一种重要的数学工具，用于分析离散时间系统。它能够将时域中的离散信号转换到复频域中，便于进行系统分析、滤波器设计和稳定性判断等。本文对一些常见的离散时间函数及其对应的Z变换进行总结，以帮助理解其基本特性与应用。
一、常见函数的Z变换总结
| 序号 | 函数表达式 | Z变换表达式 | 收敛域（ROC） | 说明 | ||||
| 1 | $ \delta[n] $ | $ 1 $ | 全平面（除0点外） | 单位脉冲函数，仅在n=0处为1 | ||||
| 2 | $ u[n] $ | $ \frac{z}{z - 1} $ | $ | z | > 1 $ | 单位阶跃函数，从n=0开始为1 | ||
| 3 | $ a^n u[n] $ | $ \frac{z}{z - a} $ | $ | z | > | a | $ | 指数衰减或增长序列，a为常数 |
| 4 | $ n u[n] $ | $ \frac{z}{(z - 1)^2} $ | $ | z | > 1 $ | 线性增长序列 | ||
| 5 | $ (-1)^n u[n] $ | $ \frac{z}{z + 1} $ | $ | z | > 1 $ | 交替符号的指数序列 | ||
| 6 | $ \sin(\omega_0 n) u[n] $ | $ \frac{z \sin(\omega_0)}{z^2 - 2 z \cos(\omega_0) + 1} $ | $ | z | > 1 $ | 正弦序列，周期性信号 | ||
| 7 | $ \cos(\omega_0 n) u[n] $ | $ \frac{z(z - \cos(\omega_0))}{z^2 - 2 z \cos(\omega_0) + 1} $ | $ | z | > 1 $ | 余弦序列，周期性信号 | ||
| 8 | $ n a^n u[n] $ | $ \frac{a z}{(z - a)^2} $ | $ | z | > | a | $ | 指数加权线性序列 |
二、说明与应用
上述表格列出了若干常见的离散时间信号及其对应的Z变换形式。这些函数在数字控制系统、滤波器设计、信号处理等领域具有广泛应用。
- 单位脉冲函数：是系统响应的基础，其Z变换为1，表示在所有频率上均等幅。
- 单位阶跃函数：常用于描述系统的初始条件或激励信号。
- 指数序列：在离散系统中经常出现，如RC电路的采样输出等。
- 正弦与余弦序列：用于分析周期性信号的频谱特性。
- 线性序列：如n u[n]，可用于分析系统对线性变化输入的响应。
在实际应用中，Z变换的收敛域（ROC）非常重要，它决定了系统的稳定性和因果性。例如，对于一个稳定的系统，其ROC必须包含单位圆。
三、结语
掌握常见函数的Z变换有助于深入理解离散时间系统的特性，并为后续的系统分析、设计与实现打下基础。通过表格形式的整理，可以更清晰地看到各个函数与其Z变换之间的对应关系，提高学习效率与应用能力。
