【常用积分公式】在数学学习和应用中，积分是一个非常重要的概念，尤其在微积分、物理、工程等领域中有着广泛的应用。掌握一些常用的积分公式，能够帮助我们更快地解决实际问题，提高计算效率。以下是一些常见的不定积分与定积分公式，以总结加表格的形式进行整理，便于查阅和记忆。
一、基本积分公式
| 积分表达式 | 积分结果 | ||
| ∫ dx | x + C | ||
| ∫ xⁿ dx | (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C, (n ≠ -1) | ||
| ∫ eˣ dx | eˣ + C | ||
| ∫ aˣ dx | (aˣ)/ln(a) + C, (a > 0, a ≠ 1) | ||
| ∫ 1/x dx | ln | x | + C |
| ∫ sin(x) dx | -cos(x) + C | ||
| ∫ cos(x) dx | sin(x) + C | ||
| ∫ sec²(x) dx | tan(x) + C | ||
| ∫ csc²(x) dx | -cot(x) + C | ||
| ∫ sec(x)tan(x) dx | sec(x) + C | ||
| ∫ csc(x)cot(x) dx | -csc(x) + C |
二、三角函数相关积分
| 积分表达式 | 积分结果 | ||
| ∫ tan(x) dx | -ln | cos(x) | + C |
| ∫ cot(x) dx | ln | sin(x) | + C |
| ∫ sec(x) dx | ln | sec(x) + tan(x) | + C |
| ∫ csc(x) dx | -ln | csc(x) + cot(x) | + C |
三、反三角函数积分
| 积分表达式 | 积分结果 |
| ∫ 1/(1+x²) dx | arctan(x) + C |
| ∫ 1/√(1−x²) dx | arcsin(x) + C |
| ∫ 1/(x² + a²) dx | (1/a)arctan(x/a) + C |
| ∫ 1/√(a² − x²) dx | arcsin(x/a) + C |
四、有理函数积分（部分分式）
对于形如 ∫ P(x)/Q(x) dx 的积分，若 Q(x) 可分解为一次因式或二次因式的乘积，则可使用部分分式法进行拆分后积分。例如：
- ∫ 1/(x(x−1)) dx = ∫ [1/(x−1) − 1/x] dx = ln
- ∫ (2x + 3)/(x² + 3x + 2) dx = ∫ [1/(x+1) + 1/(x+2)] dx = ln
五、特殊函数积分
| 积分表达式 | 积分结果 |
| ∫ sinh(x) dx | cosh(x) + C |
| ∫ cosh(x) dx | sinh(x) + C |
| ∫ sech²(x) dx | tanh(x) + C |
| ∫ csch²(x) dx | -coth(x) + C |
六、定积分基础公式
对于定积分 ∫ₐᵇ f(x) dx，其结果为 F(b) − F(a)，其中 F(x) 是 f(x) 的一个原函数。
七、常见积分技巧总结
1. 换元积分法：适用于复合函数，如 ∫ f(g(x))g'(x) dx。
2. 分部积分法：适用于乘积形式的积分，如 ∫ u dv = uv − ∫ v du。
3. 对称性利用：奇函数在对称区间上的积分等于零；偶函数可简化计算。
4. 特殊函数替换：如三角代换、双曲代换等，用于处理根号下的多项式。
结语
掌握这些常用积分公式，并灵活运用各种积分技巧，是提升数学解题能力的关键。建议在学习过程中多做练习，结合图像理解积分的意义，从而更深入地掌握积分知识。
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