【105的三角函数值】在数学学习中，三角函数是重要的基础知识之一，尤其在解三角形、解析几何和物理问题中应用广泛。对于一些特殊角度，如30°、45°、60°等，我们通常可以直接记忆它们的三角函数值，但对于像105°这样的非标准角度，就需要通过三角恒等式进行计算。
105°是一个介于90°和180°之间的角，属于第二象限。根据三角函数的性质，在第二象限中，正弦值为正，余弦值为负，正切值也为负。因此，我们可以利用三角函数的和差公式来求出105°的三角函数值。
一、105°的三角函数值（精确表达式）
| 角度 | 正弦值（sin） | 余弦值（cos） | 正切值（tan） |
| 105° | $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | $-\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ | $-2 - \sqrt{3}$ |
二、推导过程简要说明
105°可以表示为两个已知角度之和：
$$
105^\circ = 60^\circ + 45^\circ
$$
使用正弦和余弦的和角公式：
- $\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$
$$
= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
- $\cos(105^\circ) = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ$
$$
= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
$$
- $\tan(105^\circ) = \frac{\sin(105^\circ)}{\cos(105^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$
有理化分母后可得：
$$
-\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = -\frac{6 + 2 + 2\sqrt{12}}{6 - 2} = -\frac{8 + 4\sqrt{3}}{4} = -2 - \sqrt{3}
$$
三、总结
105°虽然不是常见的特殊角，但通过将其拆分为60°与45°的和，结合三角函数的和角公式，我们可以准确地计算出其三角函数值。这些值不仅有助于理解三角函数的运算规律，也对实际问题的解决具有重要意义。
了解并掌握这些角度的三角函数值，能够帮助我们在面对复杂计算时更加灵活和高效。
