【arccosx的导数是什么】在微积分中，反三角函数的导数是学习过程中常见的内容之一。其中，arccosx（即余弦的反函数）的导数是一个重要的知识点，常用于求解涉及反三角函数的导数问题。本文将对 arccosx 的导数 进行总结，并通过表格形式清晰展示其计算过程与结果。
一、arccosx 的导数推导
设 $ y = \arccos x $，则根据反函数的定义，有：
$$
x = \cos y
$$
对两边关于 $ x $ 求导，得：
$$
1 = -\sin y \cdot \frac{dy}{dx}
$$
因此，
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}
$$
由于 $ y = \arccos x $，所以 $ \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2} $，代入上式得：
$$
\frac{d}{dx} (\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
二、结论总结
| 函数 | 导数 |
| $ \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
三、注意事项
- 该导数仅在 $ x \in (-1, 1) $ 范围内有效，因为 $ \arccos x $ 的定义域为 $ [-1, 1] $。
- 导数为负值，表示随着 $ x $ 增大，$ \arccos x $ 的值会减小。
- 与 $ \arcsin x $ 的导数相比，两者互为相反数，即：
$$
\frac{d}{dx} (\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad \frac{d}{dx} (\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
四、应用示例
例如，若要计算 $ f(x) = \arccos(2x) $ 的导数，可以使用链式法则：
$$
f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} \cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}
$$
总结
arccosx 的导数是 $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $，这一结果在数学分析和实际应用中具有广泛意义。掌握其推导过程有助于更好地理解反三角函数的性质及其导数规律。
