【arctanx的不定积分怎么算】在数学学习中，求解不定积分是一个重要的环节。其中，关于函数 $ \arctan x $ 的不定积分是常见的问题之一。本文将从基本原理出发，总结出计算 $ \int \arctan x \, dx $ 的方法，并以表格形式进行归纳，便于理解和记忆。

一、基本思路

$ \arctan x $ 是一个反三角函数，其导数为：

$$

\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}

$$

但当我们需要求它的不定积分时，直接积分并不容易，因此通常采用分部积分法（Integration by Parts）来解决。

二、分部积分法公式

分部积分法的基本公式为：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

我们令：

- $ u = \arctan x $

- $ dv = dx $

那么：

- $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ v = x $

代入公式得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \cdot \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} \, dx

$$

接下来计算第二项积分：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} \, dx

$$

这是一个标准的积分形式，可以使用换元法：

令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x \, dx $，即 $ x \, dx = \frac{dt}{2} $

代入后得到：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} \ln t + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

三、最终结果

将上述结果代回原式：

$$

\int \arctan x \, dx = x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

四、总结与表格

五、注意事项

- 在使用分部积分法时，选择合适的 $ u $ 和 $ dv $ 非常重要。

- 本题中，选择 $ u = \arctan x $ 是为了简化后续积分。

- 最终结果中包含对数项，这是由于被积函数中含有 $ x $ 与 $ 1 + x^2 $ 的组合。

通过以上步骤和总结，我们可以清晰地看到如何计算 $ \arctan x $ 的不定积分。这一过程不仅体现了分部积分法的应用，也展示了数学中常见函数的积分技巧。