【ln怎么积分】在数学中，对自然对数函数 $ \ln x $ 进行积分是一个常见的问题。虽然 $ \ln x $ 本身不是一个简单的多项式函数，但通过适当的积分方法，我们可以找到它的积分表达式。以下是对 $ \ln x $ 积分的详细总结与表格展示。
一、积分公式总结
对于函数 $ \ln x $，其不定积分可以表示为：
$$
\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C
$$
其中，$ C $ 是积分常数。
这个结果可以通过分部积分法（Integration by Parts）来推导得出。具体步骤如下：
1. 设 $ u = \ln x $，则 $ du = \frac{1}{x} dx $
2. 设 $ dv = dx $，则 $ v = x $
根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
代入得：
$$
\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + C
$$
二、常见积分形式总结表
| 函数 | 不定积分 | 说明 |
| $ \ln x $ | $ x \ln x - x + C $ | 使用分部积分法推导 |
| $ x \ln x $ | $ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C $ | 需要再次应用分部积分 |
| $ (\ln x)^n $ | 递归计算，使用分部积分 | 公式较为复杂，需逐次积分 |
三、实际应用举例
1. 求 $ \int_1^e \ln x \, dx $
$$
\left[ x \ln x - x \right]_1^e = (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) = 0 - (-1) = 1
$$
2. 求 $ \int x \ln x \, dx $
令 $ u = \ln x $，$ dv = x dx $，则 $ du = \frac{1}{x} dx $，$ v = \frac{x^2}{2} $
$$
\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C
$$
四、小结
- 对 $ \ln x $ 的积分是基础且重要的内容，掌握其推导过程有助于理解更复杂的积分问题。
- 实际应用中，经常需要结合分部积分法处理含有 $ \ln x $ 的复合函数。
- 通过表格形式可以清晰地对比不同函数的积分结果，便于记忆和复习。
如需进一步了解 $ \ln x $ 在定积分、微分方程或概率论中的应用，可继续深入学习相关知识。
