【用初等变换逆矩阵】在矩阵运算中，求一个矩阵的逆矩阵是一个重要的操作。对于可逆矩阵，可以通过初等行变换的方法来求其逆矩阵。这种方法不仅直观，而且计算过程清晰，适合用于教学和实际应用。
一、初等变换法求逆矩阵的基本思路
若矩阵 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的可逆矩阵，则可以将 $ A $ 与单位矩阵 $ I $ 拼接成一个 $ n \times 2n $ 的增广矩阵 $ [A
$$
| A | I] \xrightarrow{\text{初等行变换}} [I | A^{-1} |
$$
二、具体步骤总结
以下是使用初等变换求逆矩阵的详细步骤：
| 步骤 | 操作说明 | |
| 1 | 构造增广矩阵 $ [A | I] $，其中 $ A $ 是原矩阵，$ I $ 是单位矩阵 |
| 2 | 对增广矩阵进行初等行变换（包括：交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的倍数） | |
| 3 | 将左半部分 $ A $ 化为单位矩阵 $ I $ | |
| 4 | 右半部分则自动变为 $ A^{-1} $ |
三、示例说明
假设我们有矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
$$
构造增广矩阵：
$$
| A | I ] = \left[\begin{array}{cc | cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right |
$$
接下来进行初等行变换：
1. 第2行减去第1行的3倍：
$$
R_2 \to R_2 - 3R_1
$$
得到：
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & -2 & -3 & 1
\end{array}\right
$$
2. 第2行乘以 $ -\frac{1}{2} $：
$$
R_2 \to -\frac{1}{2}R_2
$$
得到：
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array}\right
$$
3. 第1行减去第2行的2倍：
$$
R_1 \to R_1 - 2R_2
$$
得到：
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array}\right
$$
此时，左边是单位矩阵，右边就是 $ A^{-1} $：
$$
A^{-1} = \begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{bmatrix}
$$
四、注意事项
- 并非所有矩阵都有逆矩阵，只有当矩阵的行列式不为零时，才存在逆矩阵。
- 初等变换过程中要确保每一步操作都是合法的，避免出现错误。
- 实际计算时应尽量选择简单的行变换，减少计算量。
五、总结
通过初等变换求逆矩阵是一种系统且易于理解的方法，适用于大多数可逆矩阵。它不仅帮助我们掌握矩阵的运算规则，也为后续的线性方程组求解、特征值分析等提供了基础支持。掌握这一方法，有助于提高对矩阵运算的理解和应用能力。
