【基本不等式公式有哪四个】在数学学习中，基本不等式是解决最值问题、比较大小以及证明题的重要工具。它不仅广泛应用于代数、几何，还在物理、经济等领域有着重要应用。常见的“基本不等式”通常指的是均值不等式中的几种典型形式，它们分别是：
1. 算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）
2. 调和平均-几何平均不等式（HM-GM不等式）
3. 平方平均-算术平均不等式（QM-AM不等式）
4. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）
以下是对这四种基本不等式的简要总结与对比。
基本不等式公式总结
| 不等式名称 | 公式表达 | 适用条件 | 说明 |
| 算术平均-几何平均不等式（AM-GM） | $\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$ | $a_i > 0$ | 当且仅当所有数相等时取等号，常用于求最大值或最小值 |
| 调和平均-几何平均不等式（HM-GM） | $\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}} \leq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$ | $a_i > 0$ | 调和平均小于等于几何平均，适用于比例关系的分析 |
| 平方平均-算术平均不等式（QM-AM） | $\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}} \geq \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$ | $a_i \in \mathbb{R}$ | 平方平均大于等于算术平均，常用于数据波动性分析 |
| 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz） | $(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)$ | $a_i, b_i \in \mathbb{R}$ | 在向量内积、积分不等式中广泛应用，具有广泛的推广性 |
小结
上述四种不等式虽然形式各异，但都属于“基本不等式”的范畴，是数学中常用的工具。它们不仅有助于理解数与数之间的关系，还能帮助我们在实际问题中找到最优解或进行逻辑推理。掌握这些不等式，对于提升数学思维能力和解题效率非常有帮助。
