【6.一个圆柱和一个圆锥等底等高】在几何学习中，圆柱与圆锥的关系是一个重要的知识点。当一个圆柱和一个圆锥等底等高时，它们的体积之间存在明确的数学关系。通过理解这一关系，可以更深入地掌握立体几何的基本原理。
一、基本概念
- 等底：指圆柱和圆锥的底面积相等。
- 等高：指圆柱和圆锥的高相等。
在这样的条件下，我们可以比较它们的体积关系。
二、体积公式
1. 圆柱的体积公式：
$$
V_{\text{圆柱}} = S_{\text{底}} \times h
$$
其中，$ S_{\text{底}} $ 是底面积，$ h $ 是高。
2. 圆锥的体积公式：
$$
V_{\text{圆锥}} = \frac{1}{3} \times S_{\text{底}} \times h
$$
三、体积关系总结
当圆柱和圆锥等底等高时，它们的体积关系为：
$$
V_{\text{圆柱}} = 3 \times V_{\text{圆锥}}
$$
也就是说，圆柱的体积是圆锥体积的三倍。
四、表格对比
| 项目 | 圆柱 | 圆锥 |
| 底面积 | $ S_{\text{底}} $ | $ S_{\text{底}} $ |
| 高 | $ h $ | $ h $ |
| 体积公式 | $ V = S_{\text{底}} \times h $ | $ V = \frac{1}{3} S_{\text{底}} \times h $ |
| 体积关系 | 3 倍于圆锥体积 | 1/3 圆柱体积 |
五、实际应用举例
假设一个圆柱和一个圆锥的底面积都是 $ 10 \, \text{cm}^2 $，高都是 $ 6 \, \text{cm} $：
- 圆柱体积：
$$
V_{\text{圆柱}} = 10 \times 6 = 60 \, \text{cm}^3
$$
- 圆锥体积：
$$
V_{\text{圆锥}} = \frac{1}{3} \times 10 \times 6 = 20 \, \text{cm}^3
$$
这验证了“等底等高的圆柱体积是圆锥体积的三倍”这一结论。
六、总结
在几何中，“等底等高”的圆柱和圆锥具有明确的体积比例关系。掌握这一关系有助于解决实际问题，如容器容量计算、材料用量估算等。通过公式推导和实例验证，可以加深对几何体体积关系的理解。
