【2n的双阶乘等于什么】在数学中，阶乘是一个常见的概念，通常表示为 $ n! $，表示从1到 $ n $ 的所有正整数的乘积。但除了普通阶乘外，还有一种特殊的阶乘形式，称为“双阶乘”（Double Factorial），记作 $ n!! $。本文将对 2n 的双阶乘 进行详细说明，并通过总结和表格的形式展示其计算方式和结果。
一、什么是双阶乘？
双阶乘是指对一个数进行每隔一个数相乘的操作。具体来说：
- 对于偶数 $ n $，双阶乘 $ n!! $ 表示从 $ n $ 开始，每次减2，直到乘到2为止。
- 对于奇数 $ n $，双阶乘 $ n!! $ 表示从 $ n $ 开始，每次减2，直到乘到1为止。
例如：
- $ 6!! = 6 \times 4 \times 2 = 48 $
- $ 7!! = 7 \times 5 \times 3 \times 1 = 105 $
二、2n 的双阶乘
当我们要计算的是 2n 的双阶乘，即 $ (2n)!! $，那么它就是从 $ 2n $ 开始，每次减2，直到乘到2为止。因此，我们可以得出如下公式：
$$
(2n)!! = 2n \times (2n - 2) \times (2n - 4) \times \cdots \times 2
$$
这个表达式可以进一步简化为：
$$
(2n)!! = 2^n \times n!
$$
这是因为每一项都是2的倍数，提取出2后，剩下的部分正好是 $ n! $。
三、总结与示例
| n | 2n | 2n 的双阶乘 (2n)!! | 计算过程 | 公式验证 |
| 1 | 2 | 2 | 2 | $ 2^1 \times 1! = 2 $ |
| 2 | 4 | 8 | 4×2 | $ 2^2 \times 2! = 4×2=8 $ |
| 3 | 6 | 48 | 6×4×2 | $ 2^3 \times 3! = 8×6=48 $ |
| 4 | 8 | 384 | 8×6×4×2 | $ 2^4 \times 4! = 16×24=384 $ |
| 5 | 10 | 3840 | 10×8×6×4×2 | $ 2^5 \times 5! = 32×120=3840 $ |
四、结论
对于任意正整数 $ n $，2n 的双阶乘 可以用以下公式表示：
$$
(2n)!! = 2^n \times n!
$$
这不仅简化了计算过程，也为我们理解双阶乘提供了清晰的数学表达方式。无论是用于组合数学、概率论还是其他数学领域，这一公式都具有重要的应用价值。
