【e负x次方的反函数是什么】在数学中，反函数是指将原函数的输入与输出互换的函数。对于函数 $ f(x) = e^{-x} $，我们可以通过求解其反函数来找到与之对应的逆映射关系。
一、
函数 $ f(x) = e^{-x} $ 是一个指数函数，其定义域为全体实数，值域为正实数。由于该函数是单调递减的，并且在整个定义域内是一一对应的，因此它存在反函数。
求解反函数的过程如下：
1. 设 $ y = e^{-x} $
2. 解出 $ x $ 关于 $ y $ 的表达式：
$$
\ln(y) = -x \Rightarrow x = -\ln(y)
$$
3. 因此，反函数为 $ f^{-1}(x) = -\ln(x) $
二、表格展示
| 原函数 | 反函数 |
| $ f(x) = e^{-x} $ | $ f^{-1}(x) = -\ln(x) $ |
三、补充说明
- 定义域与值域：
- 原函数 $ f(x) = e^{-x} $ 的定义域是 $ (-\infty, +\infty) $，值域是 $ (0, +\infty) $。
- 反函数 $ f^{-1}(x) = -\ln(x) $ 的定义域是 $ (0, +\infty) $，值域是 $ (-\infty, +\infty) $。
- 图像关系：
- 原函数和反函数的图像关于直线 $ y = x $ 对称。
通过上述分析可以看出，$ e^{-x} $ 的反函数是 $ -\ln(x) $，两者在数学上具有明确的对应关系，常用于微积分、概率论以及信号处理等领域。
